Γ函数

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微积分学
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Γ函数，也叫做伽瑪函數(Gamma函数)，它在理论研究和应用上都有重要意义。

[编辑] 定義

Γ函數定義為：

$\Gamma(z)=\begin{matrix}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\quad(t>0) \end{matrix}$

此積分在實數 $z > 0$ 時絕對收斂，也可以考慮 $z$ 為複數的情形，此時要求 $Re(z) > 0$ 。

[编辑] 無窮乘積

Γ函數可以用無窮乘積表示：

$\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}$

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

其中 $γ$ 是歐拉常數。

[编辑] Gamma積分

$1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}dx$

$\Rightarrow \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx$

[编辑] 递推公式

Γ函数的递推公式为：

Γ(z + 1) = x Γ(z)

对于正整数 n，有

Γ(n + 1) = n!

可以说Γ函数是階乘的推廣

[编辑] 重要性质

Γ函數在實軸上的函數圖形

當 $z\to 0^+$ 時， $\Gamma(z)\to+\infty$
歐拉反射公式：

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)$

由此可知当 z=1/2 时， $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ 。

乘法定理：

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).$

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).$