二项式定理

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二项式定理，又称牛顿二项式定理。它由艾萨克·牛顿于1664、65年期间提出。定理指出：

$\left( a+b\right) ^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}a^{i}b^{n-i}$ ，其中 $C_{n}^{i}=\frac{n!}{(n-i)!i!}$ （二項式係數）。

等号右边的多项式叫做二项展开式。

二项展开式的通项即为：

$T_{i}=C_{n}^{i}a^{i}b^{n-i}$

其i项係数可表示为: $C_{n}^{i}$ ，即n取i的组合數目。

因此係数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

[编辑] 證明

當 $n = 1$ ，

$(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 { 1 \choose k } a^{1-k}b^k = { 1 \choose 0 }a^1b^0+{ 1 \choose 1 }a^0b^1 = a+b$ .

設二项展开式在 $n = m$ 時成立。若 $n = m + 1$ ，

(a + b) m + 1

=

a (a + b) m + b (a + b) m

=

$a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j$

=

$\sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$ 將

a

、

b

乘入

=

$a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$ 取出

k = 0

的項

=

$a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}$ 設

j = k - 1

=

$a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}$ 取出

k = m + 1

項

=

$a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k$ 兩者加起

=

$a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$ 套用帕斯卡法則

=

$\sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$